Сопротивление материалов. Пособие по решению задач

Внецентренное растяжение-сжатие

Элемент конструкции (стержень) подвергается деформации вне-центренного растяжения-сжатия, когда внешняя сила действует параллельно его продольной оси с некоторым эксцентриситетом от центра тяжести сечения (рис. 8.8, а).

Расчетная схема стержня составляется путем переноса внешней силы F к центру тяжести сечения по правилам механики (рис. 8.8, б). При этом образуются продольная сила N = F и изгибающие моменты относительно главных центральных осей сечения

где F. Поперечная сила Q отсутствует.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.8, в. Следует заметить, что строить эпюры необязательно, так как все внутренние силы по длине стержня постоянны.

Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие есть сочетание центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба в главных плоскостях сечения стержня.

Для определения напряжений используются формулы, полученные для центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба.

Продольная сила N и изгибающие моменты F, и делит сечение на растянутую и сжатую зоны (рис. 8.9).

Положение нейтральной оси в сечении стержня определяется по формулам

В выражениях (8.5) следует учитывать знаки координат точки приложения внешней силы F. Заметим, что координаты

Положение нейтральной оси зависит от размеров и формы сечения и координат полюса силы F, но не зависит от ее величины.

При внецентренном растяжении-сжатии в любой точке поперечного сечения стержня (кроме точек нейтральной оси) возникают лишь нормальные напряжения

В раскрытом виде это условие для любой формы сечения стержня принимает вид

где

Опасные точки определяются при помощи касательных, проведенных к сечению параллельно нейтральной оси (нулевой линии) (на рис. 8.9 — точки К и Д).

Для пластичных материалов опасной является максимально удаленная от нейтральной оси точка сечения, где напряжения по абсолютному значению наибольшие. Для хрупких материалов проверка прочности должна производиться как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Для стержней, имеющих сечение с двумя осями симметрии и выступающими углами (прямоугольник, двутавр и подобные), условие прочности можно представить в виде

где

Для названных выше типов сечений наиболее напряженными всегда являются угловые точки.

Подбор размеров сечения при внецентренном растяжении-сжатии не дает однозначного решения, так как геометрические параметры A,

Между полюсом внешней силы F и положением нейтральной оси существует определенная взаимосвязь — они расположены по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения. При приближении силы F к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот.

Зона в сечении стержня, расположенная вокруг его центра тяжести, в пределах которой следует прикладывать нагрузку, чтобы по всему сечению напряжения имели один и тот же знак, называется ядром сечения (рис. 8.10).

Координаты ядра сечения

Формулы (8.7) можно привести к другому виду, более удобному для многократных вычислений, используя такую геометрическую характеристику, как радиус инерции сечения:

Тогда формулы (8.7) примут вид

Форму и размеры ядра сечения важно знать при расчете внецентренно нагруженных элементов конструкции, выполненных из хрупкого материала.

Пример задачи №8.4

Пример задачи 8.4 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения, имеющая выточки (рис. 8.11, а)у нагружена растягивающими силами F = 20 кН по продольной оси Z.

Внутренние силы. эпюры

Балка как элемент конструкции соединяется с другими элементами при помощи устройств, называемых опорами. Различают три типа опор: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную и защемление (заделка). Опорные устройства препятствуют произвольному перемещению балок от воздействия нагрузки, накладывая на балку определенное число связей (ограничений).

Так, шарнирно-неподвижная опора А (рис. 5.2, а) имеет две связи -вертикальную и горизонтальную, дает две реакции В имеет одну связь — дает одну реакцию С имеет три связи — дает три реакции: б).

Наименьшее число связей, обеспечивающих неподвижность балки по отношению к другим элементам конструкции в плоской системе сил, равно трем. Эти связи должны быть расположены рационально: не быть параллельными друг другу или пересекаться в одной точке.

Под действием нагрузки и опорных реакций балка должна находиться в равновесии. Поэтому для определения опорных реакций

можно воспользоваться тремя условиями равновесия (для плоской системы сил):

Сумма моментов берется относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.

Рекомендуется такой порядок определения опорных реакций:

Балки, опорные реакции которых можно определить при помощи трех уравнений равновесия, называются статически определимыми. Такие балки рассматриваются в настоящем разделе.

В результате действия внешних сил (нагрузки) в поперечных сечениях балки возникают внутренние силы (усилия): поперечная сила поперечным. В частном случае в поперечных сечениях балки может возникать только один изгибающий момент чистым. Внутренние силы, как и при других, изученных выше деформациях, определяются методом сечений.Балка в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части (рис. 5.3, а). Одна из частей балки мысленно отбрасывается. Поскольку вся балка находится в равновесии, то и оставшаяся ее часть (рис. 5.3, б) под действием известных внешних сил (активных q, М и реактивной

откуда

откуда

Исходя из названных условий равновесия выработано правило определения поперечной силы

Правило таково — в рассматриваемом сечении балки:

поперечная силаизгибающий момент

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 5.4.

Для проведения расчетов балки на прочность необходимо знать максимальные значения эпюр (рис. 5.5).

Исходя из нагрузки, на балке выделяют расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных нагрузок (F, М) и в пределах распределенной (q).

В пределах каждого расчетного участка намечаются сечения (I, II, i) и отмечаются их положения в системе координатных осей растянутых волокон балки. Это значит, что положительные значения вниз от оси эпюры, а отрицательные — вверх.При построении эпюр q:

где индекс z при Q и М означает, что эти параметры являются функцией абсциссы z балки.

Из названных дифференциальных зависимостей вытекает ряд важных следствий (см. рис. 5.5):

1. Если на участке балки q = 0 (АС, DK), то поперечная сила = const, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
2. Если на участке балки , то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент — по закону параболы (выпуклостью по направлению нагрузки q).
3. Если на участке балки поперечная сила = 0 (ЕК), то изгибающий момент = const.
4. Если на участке балки поперечная сила > 0 (AL), то изгибающий момент возрастает, и наоборот (LE).
5. В сечении балки, где поперечная сила переходит через нуль (= 0), изгибающий момент имеет экстремальное значение (максимум или минимум) — сечение L.
6. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила F (сечение В,Е), на эпюре имеется «скачок» на величину этой силы и в ее направлении, а на эпюре — излом.
7. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М (сечение E), на эпюре имеется «скачок» на величину этого момента, а на эпюре изменений нет.
8. Поперечная сила в данном сечении балки может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюре М в соответствующей этому сечению точке (точка N на рис. 5.5).

Из построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для расчета на прочность выбираются максимальные значения

Пример задачи №5.1

Пример задачи 5.1 Для консольной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.6).

Возможно вам будет полезна страница:

Косой изгиб

Косой изгиб наблюдается в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки, проходящая через продольную ось бруса, не совпадает ни с одной из главных плоскостей (рис. 8.3, б), или когда она действует одновременно в двух главных плоскостях (рис. 8.3, а).

В поперечном сечении бруса, подвергающегося косому изгибу, возникают, как и при плоском поперечном изгибе, поперечная сила Q и изгибающий момент М, но только не в одной, а в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях. Косой изгиб есть сочетание двух плоских изгибов.

Определение внутренних сил (изгибающих моментов), построение их эпюр и нахождение напряжений при косом изгибе ведутся по тем же правилам и формулам, что и при плоском изгибе.

Нормальные напряжения при косом изгибе в любой точке поперечного сечения определяются по формуле

Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от расположения рассматриваемой точки в растянутой а показаны эпюры нормальных напряжений в двух главных плоскостях сечения X, а нижнюю часть сжимает (см. эпюру У, а левую часть сжимает (см. эпюру

При сложной нагрузке характер деформации зоны сечения удобнее определять по эпюрам изгибающих моментов (см. примеры).

Нормальные напряжения при косом изгибе распределяются в поперечном сечении по линейному закону, но неравномерно (как и при плоском изгибе). Наибольшие напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (и.о.). На рис. 8.4, а это точка К.

При косом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения и делит его на две зоны: растянутая и сжатая зона.

На нейтральной оси волокна не деформируются, а следовательно, нормальные напряжения в этой области равны нулю. Положение нейтральной оси определяется по формуле

где X.В приведенной формуле следует учитывать знаки изгибающих моментов. Положительное значение угла Xпротив хода часовой стрелки, отрицательное — по ходу.Максимальные нормальные напряжения действуют по контуру сечения бруса, где касательные напряжения равны нулю. Следовательно, в названных точках имеет место линейное напряженное состояние и условие прочности используется в виде

В развернутом виде условие прочности при косом изгибе для любой формы сечения в наиболее напряженной (опасной) точке имеет вид

Для бруса из хрупкого материала следует проверять прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

При сложной нагрузке, когда изгибающие моменты изменяются по длине бруса по различным законам, в поисках опасного сечения приходится проверять несколько сечений, где оба изгибающих момента достигают возможно больших значений (см. примеры).

Для поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие (незакругленные) углы (прямоугольник, двутавр, швеллер и подобные другие), условие прочности можно представить в виде

где

При подборе размеров сечения условие прочности целесообразно использовать в виде

где /

Для прямоугольного сечения к = h/b, среднее значение для прокатного двутавра k = 8, для швеллера k=7.

Наибольшее значение расчетного момента

Рациональной формой поперечного сечения при косом изгибе является сечение, у которого выполняется условие

Для прямоугольного сечения минимальная площадь сечения получается при условии

Перемещения при косом изгибе определяются теми же методами, что и при плоском. Рекомендуется использовать уравнения метода начальных параметров, а также метод Мора и способ Верещагина.

Перемещения определяются отдельно в каждой из главных плоскостей (в горизонтальной б).

Полный (суммарный) прогиб определяется по выражению

и направлен перпендикулярно нейтральной оси и под углом Р к вертикальной оси сечения

При косом изгибе продольная ось бруса представляет собой плоскую или пространственную кривую.

Пример задачи №8.1

Пример задачи 8.1 Проверить прочность и жесткость стальной консольной балки составного поперечного сечения (рис. 8.5, а), если нагрузка F направлена под углом к вертикальной оси сечения.

Напряжения при изгибе. условия прочности

Как было отмечено выше, в общем случае нагружения балки в ее поперечных сечениях возникают изгибающий момент

Принято считать, что при чистом изгибе поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации (гипотеза плоских сечений). Предполагается, что продольные волокна балки не давят друг на друга, но каждое из них претерпевает простое растяжение или сжатие.

При изгибе продольные волокна балки принимают криволинейное очертание. При этом с выпуклой стороны они удлиняются (растягиваются), а с вогнутой — укорачиваются (сжимаются) (см. рис. 5.4). Существует промежуточный слой волокон, который не деформируется — это нейтральный слой.

Поскольку волокна балки при чистом изгибе а).

Нормальные напряжения ст в любой точке поперечного сечения балки определяются по следующей формуле:

Напряжение ст зависит от величины у линейно, поэтому эпюра нормальных напряжений прямолинейна (рис. 5.11, в). Максимальные нормальные напряжения появляются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Знак нормальных напряжений устанавливается по смыслу:

Поскольку влияние указанных изменений на величину нормальных напряжений невелико, формула (5.1), полученная для случая чистого изгиба, используется и при поперечном изгибе.

Так как при поперечном изгибе волокна балки претерпевают сдвиг, в ее сечении возникают касательные напряжения х, которые лежат в плоскости сечения (рис. 5.12,а) и в любой его точке определяются по формуле Журавского:

b — ширина сечения на уровне точки, в которой определяется напряжение.Для произвольной точкиК (рис. 5.12, б), расположенной на расстоянии в). Наибольшее касательное напряжение появляется на нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения. В крайних точках сечения = 0, так как для этих точек = 0.Следует обратить внимание, что напряжение = 0, а напряжение = 0. Поэтому материал балки в различных точках по высоте сечения находится в разных напряженных состояниях.

Рассмотрим тавровое поперечное сечение (рис. 5.13).

В крайних точках поперечного сечения= 0, г) и условие прочности имеет вид = 0,в), являющийся частным случаем плоского напряженного состояния, и условие прочности записывается в виде а, б) и проверку прочности следует вести по теориям прочности.Для большинства случаев проверка прочности балок проводится отдельно по нормальным а и отдельно по касательным

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси, условие прочности по нормальным напряжениям целесообразно использовать в виде

где

Для прямоугольного сечения

для круглого

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер) значения ±5 %. При подборе сечений балок из прокатных профилей допускаются и более значительные отклонения в сторону уменьшения

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

В сопротивлении материалов принято, что касательные напряжения во всех точках прямоугольного поперечного сечения параллельны силе Q, формула (5.5) применима практически для всех типов сечений.Для отдельных форм сечения балок (двутавр, швеллер, тавр) и в отдельных случаях нагружения (короткая балка, большая нагрузка вблизи опор) возникает необходимость проверить прочность не в крайних точках сечения и не на нейтральной оси, а в некоторой промежуточной точке, например К, где одновременно действуют и нормальные К, действует система напряжений: по поперечным сечениям а).При некотором положении прямоугольного элемента (под углом = 0), а нормальные б), которые называются главными напряжениями и определяются по формулегде

Положение главных площадок (направление главных напряжений) определяется по формуле

где угол

По площадкам, образующим с главными площадками угол 45° (рис. 5.13, в)у действуют максимальные касательные напряжения

Для полной проверки прочности балки сначала по эпюрам

Полная проверка прочности балки проводится по гипотезам прочности.

Для пластического материала, например, по четвертой (энергетической) теории, условие прочности имеет вид

Рациональной формой сечения балки будет та, при которой обеспечена прочность при малом весе. В большинстве случаев потеря прочности связана с нормальными напряжениями. Из эпюры ст (см. рис. 5.12, 5.13) видно, что материал у нейтральной оси напряжен слабо. Поэтому часть материала можно «перенести» от нейтральной оси к краям сечения, где напряжения большие и где материал будет использоваться полнее. Чем дальше от нейтральной оси расположены частицы сечения, тем больше будет момент сопротивления

Для пластичных материалов (сталь) рациональной является форма двутавра.

Для хрупких материалов (чугун), у которых сопротивление сжатию больше, чем растяжению, рациональным является такой тип сечения, у которого нейтральная ось сдвинута в сторону растянутых волокон. Это тавровое сечение.

Практика показала, что в большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по нормальным напряжениям для крайних точек сечения по условию

По этому условию можно решить три типа задач:

Общий случай сложного сопротивления

Задача №8.9

Пространственная система (рис. 8.18, а), состоящая из трех стальных стержней круглого поперечного сечения диаметром d= 4 см и жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой.

Расчетные сопротивления для стали R = 210 МПа,

Проверить прочность стержней системы.

Решение:

Стержни системы находятся под действием различных видов и направлений нагрузки. Чтобы установить вид сопротивления на каждом стержне системы, необходимо построить эпюры внутренних силовых факторов. Для этого целесообразно рассматривать систему со свободного конца. В таком случае не потребуется определять опорные реакции в защемлении системы и сложность эпюр будет нарастать постепенно.

Для каждого стержня системы, начиная с первого, составляется расчетная схема с использованием локальной системы координат (см. рис. 8.18, а). Переходя к последующему стержню, необходимо по правилу механики перенести к нему все силы, действующие на предыдущий стержень.

При переносе сосредоточенной силы F параллельно самой себе образуются сосредоточенная сила F той же величины и направления и момент М, равный произведению силы F на плечо а (расстояние переноса):

М = Fa.

Сосредоточенный момент М параллельно самому себе «перемещается» по оси, относительно которой он действует.

Приступим к составлению расчетных схем, определению внутренних сил в характерных сечениях каждого стержня системы, начиная с первого, и построению их эпюр.

Поперечные силы от изгиба во внимание не принимаются.

Стержень1 (А В).

Расчетная схема стержня — защемление в точке В (рис. 8.18, д).

Нагрузкой на стержень является сосредоточенная сила F = 0,6 кН, действующая по направлению оси X Она вызывает изгиб стержня относительно оси Y.

Изгибающие моменты:

Ординаты момента X со стороны растянутых волокон стержня, т. е. справа от оси Z(АВ) (рис. 8.18, и).

Другие силовые факторы

Общее правило: в системе взаимно перпендикулярных осей m, п сила F, действующая по направлению оси п, создает изгиб относительно оси m и ордината изгибающего момента F.

Стержень2 (ВС).

Расчетная схема стержня — защемление в точке С (рис. 8.18, в). Непосредственно на стержень действует распределенная нагрузка q. Нагрузка F, действующая на первый стержень в т. А, будучи приведенной к т. В второго стержня, образует сосредоточенную силу F, направленную параллельно оси X, и момент Z, направленный по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения стержня.Распределенная нагрузка q создает изгиб стержня относительно оси Х , а сосредоточенная F — изгиб относительно оси Y. Момент Z.

Таким образом, второй стержень подвергается изгибу (в двух плоскостях) и кручению.

Определим значения внутренних сил в характерных сечениях.

Крутящий момент

Ординаты эпюры Y сверху продольной оси Z стержня, a X справа оси Z, в обоих случаях — со стороны растянутых волокон. Продольная сила во втором стержне

N = 0.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.18, ж-и.

Стержень3 (СД).

Расчетная схема — защемление в т. Д (см. рис. 8.18, б). Непосредственно действующих на стержень внешних сил нет. Силы, действующие на предыдущие участки, будучи приведенными к третьему, образуют в т. С сосредоточенные силы F и F создает в стержне деформацию сжатия. Сосредоточенная сила X (т. е. в вертикальной плоскости), а момент Y (т. е. в горизонтальной плоскости). Момент

Внутренние силы в стержне.

Изгибающие моменты:

в т. С

в т. Д

Крутящий момент

Продольная сила

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 7.18, е—и. Ординаты эпюр

Анализ эпюр внутренних сил позволяет установить вид сопротивления каждого стержня системы, выявить опасное сечение и проверить его прочность.

Сначала вычислим необходимые геометрические характеристики сечения (сечение круглое, диаметром d = 4 см). Площадь сечения

Осевой момент сопротивления

Полярный момент сопротивления:

В стержнеАВ возникает лишь изгибающий момент В, где

Максимальное нормальное напряжение в стержне

Условие прочности удовлетворяется.

СтерженьВС подвергается изгибу в двух плоскостях и кручению. Опасное сечение С, где

Поскольку изгиб происходит в двух плоскостях, необходимо вычислить суммарный изгибающий момент:

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

Максимальное нормальное напряжение от суммарного изгибающего момента

Так как стержень подвергается изгибу с кручением, проверку прочности следует выполнить по теории прочности (формула (8.10)). Максимальное расчетное напряжение

Условие прочности удовлетворяется.

СтерженьСД подвергается сжатию, изгибу в двух плоскостях и кручению.

Опасное сечение Д, где N = 0,6 кН,

Суммарный изгибающий момент

Максимальное касательное напряжение от крутящего момента

Максимальное нормальное напряжение от суммарного момента

Максимальное нормальное напряжение от сжимающей продольной силы

Максимальное расчетное напряжение

Условие прочности удовлетворяется.

В завершение примера установим положение наиболее напряженной точки в опасном сечении Д.

Нормальные напряжения от продольной силы N распределяются по сечению равномерно. Касательные напряжения от крутящего момента Т максимальны по контуру сечения. Максимальные нормальные напряжения от изгибающих моментов К, лежащая на контуре сечения по линии действия г). Расчетное напряжение в этой точке К легко определить, вычислив значение угла

Продольный изгиб (устойчивость сжатых стержней)

В механике твердого тела различают три формы равновесия твердого тела: устойчивая, безразличная и неустойчивая. Эти формы равновесия присущи сжатым гибким (длинным, тонким) стержням (рис. 9.1).

При незначительной сжимающей силе F, меньшей некоторого критического значения , а).При б).Если F>в.

Устойчивость — способность стержня под действием сжимающей нагрузки находиться в состоянии упругого равновесия и сохранять первоначальную форму.

Критическая сила — осевая сжимающая сила, при которой стержень будет в состоянии безразличного равновесия (критическое состояние), а малейшее ее превышение приведет к интенсивному росту прогибов (к потере устойчивости).

Критическая нагрузка является опасной и считается разрушающей. Разрушение происходит внезапно.

Допустимая (безопасная) сжимающая нагрузка на стержень составляет некоторую часть критической:

Критическая нагрузка для сжатого прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения определяется по формуле Эйлера:

Непосредственно формула Эйлера была получена для случая стержня с шарнирными опорами. Влияние других видов опор Ф. С. Ясинский предложил учитывать коэффициентом

Если моменты инерции сечения относительно главных центральных осей не равны между собой, то продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т. е. стержень будет искривляться перпендикулярно оси, относительно которой момент инерции будет меньшим.

Напряжение, вызванное в стержне действием критической силы, также называется критическим и определяется исходя их формулы Эйлера:

где

Гибкость стержня — геометрическая характеристика, зависящая от способа закрепления его концов, длины, формы и размеров сечения.

Формула Эйлера (9.3) применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала:

т. е. при работе материала в упругой стадии. Обычно это условие выражается через гибкость стержня и записывается в виде

где

где а и b — коэффициенты, полученные экспериментальным путем и зависящие от механических свойств материала.

Для стали а= 310 МПа, b = 1,14 МПа;

для древесины а = 28,7 МПа, b = 0,19 МПа.

Критическая нагрузка в этих случаях

Различают три категории гибкости стержня (для стали):

1. Стержни большой гибкости расчет которых ведется на устойчивость по формуле Эйлера.
2. Стержни средней гибкости расчет которых на устойчивость ведется по формуле Ясинского.
3. Стержни малой гибкости рассчитываемые на прочность при сжатии (потеря устойчивости не происходит).

Условие прочности для стержня малой гибкости имеет вид

где

Стержни средней и большой гибкости рассчитываются на устойчивость по формуле

где = 1,5-3; для древесины = 2,5-3,2.

Для удобства проведения расчета сжатых стержней строительных конструкций принят общий вид условия устойчивости

где 0 до 1 и для различных материалов в зависимости от значения гибкости А невозможно вычислить гибкость = 0,5 — середина интервала) и из (9.8) определить площадь сечения А, затем

Значительное их различие требует продолжение расчета (см. примеры).

Расхождение между 3-5 %.Сечение стержня, «работающего» на устойчивость, будет рациональным, если минимальный момент инерции А. Этому требованию удовлетворяют трубчатые, коробчатые сечения, а также некоторые сечения, составленные из прокатных профилей (швеллеров, уголков).Если у сечения главные моменты инерции равны

Пример задачи №9.1

Пример задачи 9.1 Стальная стойка квадратного поперечного сечения (а = 7 см) длиной l = 3м центрально нагружена сжимающей силой F(рис. 9.4, а). Нижний конец стойки защемлен, а верхний в направлении главной центральной оси Х — защемлен, в направлении оси Y — свободен. Определить наибольшее допустимое значение силы F, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа, а коэффициент запаса устойчивости

Расчет статически неопределимых систем. статически неопределимая балка

Для того чтобы стержневые системы (балки, рамы и т. п.) могли служить сооружениями и выдерживать внешние нагрузки, необходимо наложить на них определенные связи, которые делят на связи внешние и связи внутренние.

Наиболее широко применяемым методом раскрытия статической неопределимости стержневых систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных (лишних) связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется силами и моментами.

Величина их в дальнейшем определяется так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом при указанном способе решения неизвестными оказываются силы или моменты, действующие в местах отброшенных или рассеченных связей. Отсюда и название «метод сил».

Балки могут выполнять функции элемента конструкции лишь в тех случаях, если они неподвижны, т.е. когда их точки перемещаются только в результате деформирования. В случае действия нагрузки только в одной плоскости неподвижность обеспечивается тремя связями (опорами).

Эти связи являются необходимыми. Поскольку для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, то реакции необходимых связей могут быть найдены с помощью лишь одних уравнений статики. Такие балки называются статически определимыми.

Однако в балке из конструкционных соображений, для увеличения её прочности и жёсткости, может быть больше трех связей (реакций). В этом смысле некоторые связи являются лишними. Балки с лишними связями называются статически неопределимыми, поскольку реакции таких балок невозможно определить только при помощи уравнений статики.

Задача №6.3

Для многопролетной балки (рис. 6.7, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, если R = 210 МПа.

Определить прогиб посередине ненагруженного пролета, изобразить ось изогнутой балки.

Решение:

Рассматриваемая балка состоит из трех пролетов и проходит не прерываясь над двумя промежуточными опорами, т. е. является неразрезной и дважды статически неопределимой (по числу промежуточных опор). Для ее решения воспользуемся методом сил.

Основную систему получим путем постановки шарниров на промежуточных опорах В и С (рис. 6.7, б). Обозначив неизвестные изгибающие моменты на этих опорах через б), вычислив опорные реакции и значения М в характерных сечениях, построим грузовую эпюру изгибающих моментов в).Затем нагружаем основную систему единичными опорными моментами В и С. Для каждогопролета основной системы определяем опорные реакции и строим единичные эпюры г, д).Грузовая эпюра в). На единичных эпюрахг, д). Отмечаются также центры тяжести единичных эпюр

Вычисляем значения ординат у на единичных эпюрах:

Перемножив единичные эпюры (сами на себя и между собой), получим значения коэффициентов канонических уравнений:

Перемножив грузовые эпюры на единичные, получим значения свободных членов канонических уравнений:

С учетом значений коэффициентов и свободных членов канонические уравнения примут вид

Решив систему уравнений (6.10), получим значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки:

Решая задачи самостоятельно, не забудьте проверить правильность решения системы уравнений (6.10).

Заметим и учтем, что направление опорного момента

Окончательные эпюры Q и М построим, рассматривая отдельно каждый пролет неразрезной балки как самостоятельную балку, нагруженную заданной нагрузкой и найденными опорными моментами (рис. 6.8, а).

Эпюры Q и М для рассмотренной неразрезной балки показаны на рис. 6.8, б, в.

Для проверки правильности выполнения расчетов надо перемножить окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные. Решение будет верным, если результат перемножения будет равен нулю.

Ограничимся перемножением окончательной эпюры М на единичную а, б):Определим номер двутавра. Из окончательной эпюры М следует, что

Требуемый момент сопротивления сечения

Принимаем двутавр № 20, для которого ВС (сечение К) следует в названном сечении основной системы приложить единичную силуа)

Напомним, что:

В настоящем задании на грузовой эпюре М — один расчетный участок, на единичной (ломаная прямая) — два. Площадьединичной эпюры, а ординаты у — с грузовой, расчленив ее, как показано на рис. 6.10, б.

Значения площадей и ординат:

Перемножив эпюры, получим

откуда прогиб

Знак «минус» при д).

Ось изогнутой неразрезной балки (эпюра прогибов) изображена на рис. 6.8, д.

Обратите внимание на точки перегиба на эпюре М с выпуклостью балки.

Статически неопределимые балки

Задача №6.2

Для двухпролетной балки (рис. 6.4, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, определить прогиб в сечении D, изобразить ось изогнутой балки. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Неизвестных опорных реакций четыре:

Следовательно, балка один раз статически неопределима. Уравнения равновесия

Независимое уравнение = 0 можно составить только одно относительно любой точки балки. В примере рационально использовать точку С:

или

Раскрытие статической неопределимости проведем двумя методами: с использованием метода начальных параметров и метода сил.

1.Расчет по методу начальных параметров.

Составим дополнительное уравнение, исходя из деформативных условий на опорах балки: =0, = 0.

Напомним, что начало координатных осей помещается в крайнем левом сечении балки — сечении А.

Составим выражения для названных прогибов.

При z = 6 м

При z = 11 м

Начальный параметр А А или В:откуда

Контроль правильности определения реакций выполним по уравнению (6.5):

Дальнейший расчет балки обычный. Ординаты эпюры М в характерных сечениях:

• сечениеА: М = 0;
• сечениеК:

При z = 2,3 м (ход справа)

Требуемый момент сопротивления для подбора номера двутавра

Принимаем двутавр z = 6 м) равен нулю (

Прогиб в заданном сечении D (при z = 8,5 м)

Ось изогнутой балки изображена на рис. 6.4, г. Напомним, что очертание эпюры прогибов необходимо согласовывать с эпюрой М: ординаты М должны находиться на выпуклой стороне балки. В сечениях, где М = 0, на эпюре прогибов находятся точки перегиба.

2.Расчет по методу сил.

Необходимую для расчета основную систему получим путем постановки шарнира на промежуточной опоре В (рис. 6.5,а)

Образуются две статически определимые балки, связанные между собой шарниром В (на рис. 6.5, а для удобства пояснения балки раздвинуты).

Обозначим неизвестный опорный момент через б).Затем нагружаем основную систему единичным опорным моментом в).Грузовая эпюра y.

Площади:

Ординаты:

Напомним, что

Приступаем к определению параметров уравнения метода сил (6.5).

Умножив единичную эпюру у лежат по одну сторону от оси эпюры, отрицательным — если по разные (в примере

Полученные значения подставим в каноническое уравнение:

откуда В противоположно предполагаемому.Таким образом, определением изгибающего момента на опоре В балки

Для построения эпюр Q и М нужно рассматривать отдельно балку каждого пролета, нагруженную заданной нагрузкой и найденным опорным моментом (рис. 6.5, г).

Построив эпюры Q и М, можно убедиться, что они совпадают с показанными на рис. 6.4, б, в.

Для определения прогибов по способу Верещагина в заданном сечении D основной системы следует приложить единичную силу б), построить от нее единичную эпюру М в этом пролете балки (рис. 6.6, а).При разделении сложной эпюры М на простые фигуры следует иметь в виду, что единичная сила а).

Площади фигур

Ординаты у

Заметим, что обе параболы М. Это станет очевидным, если представить эпюру М только от распределенной нагрузки q.

Прогиб в сечении D:

Знак «плюс» при

Таким образом, результаты расчета двухпролетной балки методом начальных параметров и методом сил совпадают.

Анализируя трудоемкость расчета, можно сделать вывод, что для балки один раз статически неопределимой оба метода примерно равноценны. При большей степени статической неопределимости метод сил эффективнее.

Заметим, что при сложной нагрузке (особенно распределенной q) вычисление прогибов по способу Верещагина может оказаться сложнее, чем по методу начальных параметров.